Определение
Скалярное произведение векторов a и b – это сумма произведений соответствующих координат этих векторов.
Формула
Для вычисления скалярного произведения векторов a = (a₁, a₂, a₃) и b = (b₁, b₂, b₃), используется следующая формула:
a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃ * b₃
Пример
Даны два вектора a = (2, 4, 6) и b = (1, 3, 5). Найдем их скалярное произведение.
a · b = 2 * 1 + 4 * 3 + 6 * 5 = 2 + 12 + 30 = 44
Свойства
- Скалярное произведение векторов не зависит от начала координатной системы.
- Скалярное произведение векторов равно нулю, если векторы ортогональны (перпендикулярны).
- Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины.
- Скалярное произведение векторов коммутативно: a · b = b · a.
- Скалярное произведение векторов дистрибутивно относительно сложения: (a + b) · c = a · c + b · c.
Примечание: Скалярное произведение векторов также можно найти с помощью геометрического метода, используя угол между ними и длины векторов.
Подсказка: Если векторы содержат больше трех координат, формула для скалярного произведения будет аналогичной, суммируя произведения всех соответствующих координат.
Что такое скалярное произведение векторов?
Вычисление скалярного произведения векторов осуществляется по формуле:
a · b = |a| * |b| * cos(θ)
где a и b — это векторы, |a| и |b| — их длины, а θ — угол между векторами.
Результат скалярного произведения будет числом, которое показывает, насколько сильно два вектора сонаправлены. Если скалярное произведение равно нулю, то векторы являются перпендикулярными друг другу.
Скалярное произведение векторов имеет множество практических применений в физике, геометрии, компьютерной графике и других областях. Оно используется для расчета угла между векторами, определения проекции вектора на другой вектор, вычисления работы силы по перемещению и многих других задач.