Как найти отношение радиуса вписанной к радиусу описанной около квадрата окружности

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон квадрата. Описанная окружность, наоборот, проходит через вершины квадрата. Но что делать, если мы хотим найти отношение радиусов этих двух окружностей? Этот гид поможет нам разобраться в данной задаче и найти правильное решение.

Давайте представим, что радиусы вписанной и описанной окружностей равны соответственно r и R. Нам необходимо найти отношение r к R, то есть r/R. Как нам это сделать? Для начала, давайте воспользуемся свойством радиусов вписанной окружности и касательной.

Вписанная окружность касается сторон квадрата под прямым углом. Значит, радиус вписанной окружности r будет перпендикулярен касательной и касается сторон квадрата.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник, образованный радиусом вписанной окружности, радиусом описанной окружности и стороной квадрата. По теореме Пифагора мы можем записать следующее соотношение:

r² + (r + R)² = (2R)²

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, мы получим следующее:

r² + r² + 2rR + R² = 4R²

Дальше, вынесем R² за скобку:

2rR + r² + R² = 3R²

Теперь, вычтем из обеих частей уравнения r²:

2rR + R² = 3R² — r²

Наконец, факторизуем правую часть и получим окончательное решение:

2rR + R² = (R + r)(2R — r)

Результатом является отношение r/R, которое равно (R + r)(2R — r). Теперь у нас есть формула для вычисления этого отношения, так что мы можем приступать к практическим задачам и применять полученные знания на практике.

Определение понятий

Перед тем, как перейти к вычислению отношения радиуса вписанной окружности к радиусу описанной около квадрата окружности, полезно разобраться в некоторых понятиях и свойствах.

• Вписанная окружность: это окружность, которая полностью лежит внутри квадрата и касается каждой из его сторон. Вписанная окружность имеет центр, который совпадает с центром квадрата.
• Описанная окружность: это окружность, которая проходит через вершины квадрата. Описанная окружность также имеет центр, который совпадает с центром квадрата.
• Радиус вписанной окружности: это расстояние от центра вписанной окружности до любой из ее точек. Обозначается как R1.
• Радиус описанной окружности: это расстояние от центра описанной окружности до любой из ее точек. Обозначается как R2.

Теперь, когда мы определили эти понятия, давайте узнаем, как вычислить отношение R1 к R2.

Связь между радиусами

Для нахождения отношения радиуса окружности, вписанной в квадрат, к радиусу окружности, описанной вокруг квадрата, сначала необходимо понять, что внутри квадрата можно вписать окружность так, чтобы она касалась всех его сторон. Такая окружность называется вписанной.

Опишем квадрат таким образом, чтобы его вершины были точками касания окружности:

ABCD — квадрат с центром в точке O.

R — радиус вписанной окружности.

Если провести диагонали квадрата, они будут пересекаться в его центре O.

Также, вписанная окружность будет касаться диагоналей и их точки пересечения O.

Радиус вписанной окружности будет составлять половину длины стороны квадрата:

R = a/2, где a — сторона квадрата.

С другой стороны, можно описать окружность вокруг квадрата так, чтобы она касалась всех его углов. Такая окружность называется описанной.

Таким образом, радиус описанной окружности будет равен половине длины диагонали квадрата:

r = (a * √2)/2, где a — сторона квадрата.

Таким образом, связь между радиусами вписанной и описанной окружностей можно записать следующим образом:

R/r = (a/2)/((a * √2)/2) = R/r = √2.

Отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности равно √2.

Формула для вычисления отношения

Отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной около квадрата можно вычислить по следующей формуле:

Где r — радиус вписанной окружности, а R — радиус описанной около квадрата окружности.

Отношение может быть выражено в виде числового значения или в виде десятичной дроби, в зависимости от конкретных значений радиусов.

Примеры вычислений

Для того чтобы найти отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной около квадрата, можно использовать следующее выражение:

Отношение радиуса вписанной окружности (r) к радиусу описанной около квадрата (R) выражается формулой:

r/R = 1/√2

Рассмотрим пример вычисления:

1. Пусть сторона квадрата равна 10 см
2. Найдем диагональ квадрата:
• Диагональ квадрата равна √(10^2 + 10^2)
• Диагональ квадрата равна √(100 + 100)
• Диагональ квадрата равна √(200)
• Диагональ квадрата равна 10√2
3. Найдем радиус описанной около квадрата окружности:
• Радиус описанной около квадрата окружности равен половине диагонали:
• Радиус описанной около квадрата окружности равен (10√2)/2
• Радиус описанной около квадрата окружности равен 5√2
4. Найдем радиус вписанной окружности:
• Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата:
• Радиус вписанной окружности равен 10/2
• Радиус вписанной окружности равен 5
5. Вычислим отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной около квадрата:
• Отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной около квадрата равно r/R
• Отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной около квадрата равно 5/(5√2) = 1/√2

Таким образом, отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной около квадрата всегда будет равно 1/√2.