Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем. Нахождение n-ого члена в геометрической прогрессии является одной из основных задач в математике. Знание формулы для нахождения n-ого члена позволяет быстро и эффективно решать такие задачи.
Формула для нахождения n-ого члена в геометрической прогрессии имеет следующий вид:
an = a1 * q(n-1),
где an — n-ый член прогрессии, a1 — первый член прогрессии, q — знаменатель прогрессии.
Для использования данной формулы необходимо знать первый член прогрессии (a1), знаменатель прогрессии (q) и номер искомого члена (n). Подставив эти значения в формулу, можно быстро и легко найти n-ый член геометрической прогрессии.
- Определение геометрической прогрессии
- Как вычислить общий член геометрической прогрессии
- Формула для нахождения n-ого члена в геометрической прогрессии
- Пример использования формулы для нахождения n-ого члена
- Как найти сумму n членов геометрической прогрессии
- Пример использования формулы для нахождения суммы n членов
Определение геометрической прогрессии
Формальное определение ГП:
| Первый член (a1): | любое число, кроме нуля |
| Знаменатель (q): | постоянное число, не равное нулю |
| n-ый член (an): | an-1 * q |
Используя формулу для нахождения n-ого члена ГП, можно находить любой член последовательности, зная первый член и знаменатель. Также можно находить сумму определенного количества членов ГП.
Как вычислить общий член геометрической прогрессии
an = a1 * r^(n-1)
где:
- an — n-ый член геометрической прогрессии
- a1 — первый член геометрической прогрессии
- r — знаменатель прогрессии
- n — порядковый номер члена прогрессии, для которого вычисляется общий член
Чтобы вычислить общий член геометрической прогрессии, необходимо знать первый член и знаменатель прогрессии. Зная эти значения и порядковый номер, можно просто подставить их в формулу и вычислить значение общего члена.
Например, у нас есть геометрическая прогрессия с первым членом a1 = 2 и знаменателем r = 3. Чтобы найти значение 4-ого члена (n = 4), мы можем использовать формулу:
a4 = 2 * 3^(4-1) = 2 * 3^3 = 2 * 27 = 54
Таким образом, 4-ый член геометрической прогрессии с первым членом 2 и знаменателем 3 равен 54.
Формула для нахождения n-ого члена в геометрической прогрессии
Для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии с известным первым членом и знаменателем можно использовать формулу:
an = a1 * r(n-1)
где:
- an – n-ый член геометрической прогрессии;
- a1 – первый член геометрической прогрессии;
- r – знаменатель геометрической прогрессии;
- n – номер члена геометрической прогрессии, которому нужно найти значение.
Формула позволяет быстро и легко вычислять любой член геометрической прогрессии, если известны первый член и знаменатель.
Например, если первый член геометрической прогрессии равен 2, а знаменатель равен 3, можно найти значение пятого члена прогрессии:
a5 = 2 * 3(5-1) = 2 * 34 = 2 * 81 = 162.
Таким образом, пятый член геометрической прогрессии будет равен 162.
Пример использования формулы для нахождения n-ого члена
Предположим, у нас есть задача по нахождению 10-го члена геометрической прогрессии, где первый член равен 2, а знаменатель прогрессии равен 3. Мы можем использовать формулу для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии:
an = a1 * r(n-1)
Где:
- a1 — первый член геометрической прогрессии
- r — знаменатель геометрической прогрессии
- n — номер члена, который мы хотим найти
Теперь, подставим значения из нашей задачи:
| an | = | a1 | * | r(n-1) |
|---|---|---|---|---|
| a10 | = | 2 | * | 3(10-1) |
Вычислим значение выражения:
| a10 | = | 2 | * | 39 |
| a10 | = | 2 | * | 19683 |
| a10 | = | 39366 |
Таким образом, десятый член геометрической прогрессии со значением первого члена 2 и знаменателем 3 равен 39366.
Как найти сумму n членов геометрической прогрессии
Геометрическая прогрессия имеет вид:
a, a * q, a * q^2, a * q^3, …, a * q^(n-1)
где:
— a — первый член прогрессии,
— q — знаменатель прогрессии.
Чтобы найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, можно использовать следующую формулу:
S = a * (1 — q^n) / (1 — q)
где:
— S — сумма n членов прогрессии,
— n — количество членов прогрессии.
Эта формула основана на использовании свойства геометрической прогрессии, согласно которому сумма всех членов прогрессии равна частному от деления первого члена на разность единицы и знаменателя прогрессии, возведенного в степень количества членов прогрессии.
Приведем пример:
| n | S |
|---|---|
| 1 | a |
| 2 | a * (1 + q) |
| 3 | a * (1 + q + q^2) |
| 4 | a * (1 + q + q^2 + q^3) |
Как видно из примера, сумма первых n членов геометрической прогрессии зависит от значения знаменателя q и количества членов n. С помощью данной формулы можно легко вычислить сумму n членов геометрической прогрессии и использовать ее в различных задачах и расчетах.
Пример использования формулы для нахождения суммы n членов
Для нахождения суммы n членов геометрической прогрессии с известным первым членом (a) и знаменателем (r), можно воспользоваться следующей формулой:
Sn = a * (1 — rn)/ (1 — r)
Где Sn обозначает сумму первых n членов прогрессии.
Давайте рассмотрим пример. Пусть первый член равен 2, а знаменатель равен 3. Нам нужно найти сумму первых 4 членов прогрессии.
Используем формулу:
S4 = 2 * (1 — 34)/ (1 — 3)
Рассчитываем:
S4 = 2 * (1 — 81)/ (-2)
Получаем:
S4 = 2 * (-80)/ (-2) = 160
Таким образом, сумма первых 4 членов геометрической прогрессии с первым членом 2 и знаменателем 3 равна 160.